绝密启用前
202l年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则
A． B． C． D．
2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3．已知，则
A． B． C． D．
4．下列函数中是增函数的为
A． B． C． D．
5．点到双曲线的一条渐近线的距离为
A． B． C． D．
6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
7．在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是
A． B． C． D．
8．在中，已知，，，则
A．1 B． C． D．3
9．记为等比数列的前n项和．若，，则
A．7 B．8 C．9 D．10
10．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
11．若，则
A． B． C． D．
12．设是定义域为R的奇函数，且．若，则
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若向量满足，则_________．
14．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为，则该圆锥的侧面积为________．
15．已知函数的部分图像如图所示，则_______________．
16．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
|
|
一级品 |
二级品 |
合计 |
|
甲机床 |
150 |
50 |
200 |
|
乙机床 |
120 |
80 |
200 |
|
合计 |
270 |
130 |
400 |
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：，
|
0.050 |
0.010 |
0.001 |
|
|
k |
3.841 |
6.635 |
10.828 |
18．（12分）
记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列．
19．（12分）
已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，．
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点，证明：．
20．（12分）
设函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
21．（12分）
抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．