本文经授权转载自公众号「新原理研究所」（ID：newprincipia）
数学，是一个充满方程的世界。
一个方程能将大量信息浓缩成一个简单的式子。数学家的使命不仅是推导这些方程，还有解出这些方程以发现其中所包含的信息。一个常被提及的问题是：数学究竟是一项发明还是一项发现？最恰当的答案或许是——两者皆是。创建方程是一个发明的过程，而求解方程则是一个发现的过程。
如果要评选最伟大的数学方程，毕达哥拉斯定理（勾股定理）、费马大定理、欧拉恒等式等必定名列其中。
一些著名方程的例子。
方程也可以描述宇宙，比如万有引力定律，爱因斯坦场方程、质能方程等等。对于这些方程，或许你已经在许多不同文章中已经有了或多或少的了解。
因此，今天我们要讨论几个不一样的方程，它们伟大而深刻，无论是在数学领域还是我们的生活中都扮演着极为重要的角色。
Ax=b，或许是线性代数中最简单的等式之一。然而，就是这样一个简单的方程，却在许多方面改变了世界，它背后所蕴含的意义或许不像爱因斯坦场方程或薛定谔方程那样令人惊叹，也不像费马大定理那样难以求解，但可以说，我们生活中的每件事几乎都会受到这个方程的无限的影响。
线性矩阵方程。
在这个方程中，x是未知的，b是已知的，A则是一个将x映射到b的已知算子。这个方程把已知的和未知的联系起来。当我们需要预测天气、做核磁共振或CAT扫描、设计飞机、训练机器学习、控制化工工厂，甚至购物时，这个线性方程就出现了。求解这个方程，让科学家发现了之前不曾知晓的秘密。
其实在这个方程中，算子A可以是很多东西，它可以是一个数字、一个方阵、一个长方阵，甚至一个微分运算……这个方程的最简单例子，就是当A、x和b都是简单的数字时。当A≠0时，这个方程有唯一解x=b/A.
更为复杂但非常有趣的情况发生在当A是一个矩阵，而x和b是向量时。举个简单的例子，假设你需要买x个苹果和y个香蕉，苹果2元一个，香蕉3元一个，你有17元预算；同时，从补充维生素C的角度来看，每个苹果有4个单位的维生素C，每个香蕉有3个单位，总维生素C摄入量需要25个单位。那么问题来了，x和y分别该为什么值？
按照惯有思路，我们可以通过设置方程组来轻松解开这道题：
而如果用矩阵方程Ax=b的形式，这组方程可以被写成：
求解这个比之前的简单方程会更难一点，它需要构造一个逆矩阵A⁻¹，使得